Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连结DE．

（1）当E在线段BC上时

①若DE=5，求BE的长；

②若CE=EF，求证：AD=AE；

（2）连结BF，在点E的运动过程中：

①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；

②记△ADF的面积为S1，记△DCE的面积为S2，当BF∥DE时，请直接写出S1：S2的值．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝2；②证明见解析；（2）①BE＝2；②S1：S2＝1

【解析】（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，由勾股定理求得CE的长，即可求得BE的长；

②证明△CED≌△DEF，可得∠CED＝∠FED，从而可得∠ADE＝∠AED，即可得到AD＝AE；

（2）①分两种情况点 E 在线段 BC 上、点 E 在 BC 延长线上两种情况分别讨论即可得；

②S1：S2＝1，当 BF//DE 时，延长 BF 交 AD 于 G，由已知可得到四边形 BEDG 是平行四边形，继而可得S△DEF＝S平行四边形 BEDG，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四边形 BEDG，S△ABG＝S△CDE，根据面积的知差即可求得结论.

（1）①在矩形 ABCD 中，∠B＝∠DCE＝90°，

BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，

∵DE＝5，

∴CE＝=3，

∴BE＝BC-CE=5-3=2；

②在矩形 ABCD 中，∠DCE＝90°，AD//BC，

∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE，

∵CE＝EF，DE＝DE，

∴△CED≌△DEF（HL），

∴∠CED＝∠FED，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE；

（2）①当点 E 在线段 BC 上时，AF＝BF，如图所示：

∴∠ABF＝∠BAF，

∵∠ABF＋∠EBF＝90°，

∠BAF＋∠BEF＝90°，

∴∠EBF＝∠BEF，

∴EF＝BF ，∴AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝5，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，

∴CE＝3，

∴BE＝5－3＝2；

当点 E 在 BC 延长线上时，AF＝BF，如图所示，

同理可证 AF＝EF，

∵DF⊥AE，

∴DE＝AD＝5，

在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，

∴CE＝3，

∴BE＝5＋3＝8，

综上所述，可知BE=2或8；

②S1：S2＝1，解答参考如下：

当 BF//DE 时，延长 BF 交 AD 于 G，

在矩形 ABCD 中，AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，

∠BAG＝∠DCE＝90°，

∵BF//DE，

∴四边形 BEDG 是平行四边形，

∴BE＝DG，S△DEF＝S平行四边形 BEDG，

∴AG＝CE，S △BEF＋S△ DFG＝ S平行四边形 BEDG，

∴△ABG≌△CDE，

∴S△ABG＝S△CDE，

∵S △ABE＝ S平行四边形 BEDG，

∴S△ABE＝S△BEF＋S△DFG，

∴S△ABF＝S△DFG，

∴S△ABF＋S△AFG＝S△DFG＋S△AFG即 S△ABG＝S△ADF，

∴S△CDE＝S△ADF，即 S1：S2＝1.