Question

【题目】某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．

月份n（月）	1	2
成本y（万元/件）	11	12
需求量x（件/月）	120	100

（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设y=a+ ，

由表中数据可得： ，解得： ，

∴y=6+ ，

由题意，若12=18﹣（6+ ），则 =0，

∵x＞0，

∴ ＞0，

∴不可能

（2）解：将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，

解得：k=13，

∴x=2n2﹣26n+144，

将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，

∴k=13；

由题意，得：18=6+ ，

解得：x=50，

∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，

∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，

∴方程无实数根，

∴不存在

（3）解：第m个月的利润为W，

W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）

=12（x﹣50）

=24（m2﹣13m+47），

∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），

若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；

若W＜W′，W﹣W′=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W﹣W′取得最大值240；

∴m=1或11

【解析】（1）设y=a+ ，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（6+ ），则 =0可作出判断；（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+ 求得x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断；（3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．