Question

【题目】如图1，已知：AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF．

（1）求证：∠1＋∠2＝90°；

（2）如图2，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求证：FG∥EH．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）过点O作OM∥AB，根据平行线的性质得出∠1=∠EOM，求出OM∥CD，根据平行线的性质可求解；

（2）根据平行线的性质得出∠AEH+∠CHE=180°，根据角平分线的性质和平行线的判定可求解.

试题解析：（1）方法一：过点O作OM∥AB

则∠1＝∠EOM

∵AB∥CD

∴OM∥CD

∴∠2＝∠FOM

∵OE⊥OF

∴∠EOF＝90°，即∠EOM＋∠FOM＝90°

∴∠1＋∠2＝90°

方法二：过点F作FN∥OE交AB于N

则∠1＝∠ANF，∠EOF＋∠OFN＝180°

∵OE⊥OF

∴∠EOF＝90°

∴∠OFN＝180°－∠EOF＝90°

∵AB∥CD

∴∠ANF＝∠NFD

∴∠1＝∠NFD

∵∠1＋∠OFN＋∠NFD＝180°

∴∠1＋∠2＝180°－∠OFN＝90°

（2）∵AB∥CD

∴∠AEH＋∠CHE＝180°

∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH

∴∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1

∵∠1＋∠2＝90°

∴∠CFG＋∠AEH＝2∠1＋2∠2＝180°

∴∠CFG＝∠CHE

∴FG∥EH