Question

【题目】如图，四边形中，，平分，平分．

（1）如下图，求证：四边形是菱形；

（2）如下图，点为四边形外一点，连接、、，交于点，，求证：；

（3）如下图，在（2）的条件下，，点为上一点，连接，点为延长线上一点，，连接，为上一点，连接，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6.

【解析】

（1）首先证明AB=BC，AB=AD，推出AD=BC，可证四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．

（2）欲证明AE=AC，只要证明∠ACE=∠AEC即可．

（3）如图3中，作KJ⊥BA交BA的延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．首先证明△ABC是等边三角形，易知BO⊥AC，CJ⊥AB，推出BO=CJ，因为S△BCG=BGCI，S△ABK=AKBO，由BG=AK，CI=BO，推出S△BCG=S△ABK，推出S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK=BHKJ，再证明JK=AK=BG即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAB=∠CAD，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠ADB=∠DBC，

∴∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD=AB，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）证明：如图2中，

∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠AFC=2∠AEC-∠BAC，

∴∠AFC+∠ACB=2∠AEC，

∵∠CAF+∠AFC+∠ACB=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，

∴∠AFC+∠ACB=∠AEC+∠ACE=2∠AEC，

∴∠ACE=∠AEC，

∴AE=AC．

（3）解：如图3中，作KJ⊥BA交BA水电延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．

∵AB=AE=AC，

∴△BCE的外接圆的圆心为A，

∵∠BEC=150°，

∴∠EBC+∠BCE=30°，

∵∠EAC=2∠EBC，∠EAB=2∠BCE，

∴∠BAC=2（∠EBC+∠BCE）=60°，

∵BA=BC，

∴△ABC是等边三角形，BO⊥AC，CJ⊥AB，

∴BO=CJ，

∵S△BCG=BGCI，S△ABK=AKBO，

∵BG=AK，CI=BO，

∴S△BCG=S△ABK，

∴S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK=BHKJ，

在Rt△AKJ中，∵∠KAJ=∠BAC=60°，

∴KJ=AKsin60°=AK=BG，

∴S△BCG-S△AKH=BHKJ=BHBG=BHBG=×24=6．