Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线交轴于点，交轴于点，，垂足为，交轴负半轴于点，且点坐标为．

（1）求直线的解析式；

（2）点为直线右侧第一象限内一点，连接、，将线段绕点顺时针旋转90°，得到线段，点落在点处，设点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，过点作垂直于轴于点，交于点，连接，点为延长线上一点，连接，交于点，连接，若，，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；；（2）Q（-m2+m，4-m）；（3）P（，）．

【解析】

（1）由已知可得∠DAO=45°，进而得到AD直线的k=1，将点A（-2，0）代入即可；

（2）过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，由已知条件可证明△CQN≌△DMP（AAS），所以有QN=MP，CM=CN，即可求Q点坐标；

（3）由题意可求G（m，4-m），因此GQ与y轴垂直，由QG=GF，可求F（m，4-m-m2），求出CF所在直线解析式为y=-（1+m）x+4，确定点E（，4-m）；过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，可证明△ETB≌△HBP（HL），由平行的性质和等腰直角三角形的性质可知∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，得到△EGB≌△PGB（AAS），故有EG=PG，将点的坐标代入有m-=-m2+m+4-（4-m），求出m即可．

解：（1）由题意可知B（4，0），C（0，4），

∴CO=BO，

∴∠CBO=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAO=45°，

∵A（-2，0），

∴AD的直线解析式为y=x+2；

（2）如图，过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，

∵∠PCQ=90°，∠MCN=90°，

∴∠MCP=∠NCQ，

∵CP=CQ，∠CNQ=∠CMP=90°，

∴△CQN≌△DMP（AAS），

∴QN=MP，CM=CN

∵P的坐标为（m，-m2+m+4），

∴CM=m，MP=4-（-m2+m+4）=m2-m，

∴Q（-m2+m，4-m）；

（3）如图，

∵PH垂直于x轴，

∴G点横坐标为m，

∵G点在直线BC上，

∴G（m，4-m），

∵QG=GF，

∴m2=4-m-yF，

∴F（m，4-m-m2）

∴CF所在直线解析式为y=-（1+m）x+4，

∴E（，4-m），

过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，

∴ET=4-m，HB=4-m，

∴ET=HB，

∵BE=BP，

∴△ETB≌△HBP（HL），

∴∠EBT=∠BPH，

∵QG∥OB，

∴∠EBT=∠GEB，

∴∠GEB=∠BPG，
∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，

∴△EGB≌△PGB（AAS），

∴EG=PG，

∴m-=-m2+m+4-（4-m），

∴m=±，

∵P为直线BC右侧第一象限内一点，

∴m=，

∴P（，）．