Question

【题目】在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则的长为______．

Answer 1

【答案】6或2.

【解析】

由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．

解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，

则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°

在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6

在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，

即2AD2=（6）2，解得AD=6

②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，

所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4-2=2

在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．

故答案为：6或2.