Question

【题目】三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2．按图①的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大的正方形，称为第1次剪取，记余下的两个三角形面积和为S1；按图②的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中，分别剪去尽可能大的正方形，称为第2次剪取，记余下的两个三角形面积和为S2；继续操作下去……．

（1）如图①，求和S1的值；

（2）第n次剪取后，余下的所有三角形面积之和Sn为________．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2） ．

【解析】【试题分析】（1）设CE的长为x，由题意得，AF=1－x，FD=x，由于DF∥BC，根据平行线分线段成比例定理的推论得，ADF∽ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得 = ，即 ，解方程得x= ，则 ，则S1=×1×2-=

（2）第一个图形中，S1=，即S1是 的；第二个图形中，S2是 和的\和的，即S2= ，…则Sn=

【试题解析】

（1）设CE的长为x，由题意得，AF=1－x，FD=x，

∵DF∥BC，∴ADF∽ABC，

∴ = ，即 ，解得x= ，

则

则S1=×1×2-=

（2）第一个图形中，S1=，即S1是 的；第二个图形中，S2是 和的\和的，即S2= ，…,以此类推，则Sn=