Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB= ，EF=2 ，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接DE，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB=90°，

∵E是AB的中点，

∴DA=DB，

∴∠1=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠1=∠F；

（2）

解：∵∠1=∠F，

∴AE=EF=2 ，

∴AB=2AE=4 ，

在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4，

∴BC= =8，

设CD=x，则AD=BD=8﹣x，

∵AC2+CD2=AD2，

即42+x2=（8﹣x）2，

∴x=3，即CD=3．

【解析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；
（2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2 ，推出AB=2AE=4 ，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC= =8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．