Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G.

（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是___________形；

（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F.

求证：BF=AB+DF；

若AD=AB，试探索线段DF与FC的数量关系.

Answer 1

【答案】正方形

【解析】

（1）如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是正方形，理由为：由折叠得到两对边相等，三个角为直角，确定出四边形ABEG为矩形，再由矩形对边相等，等量代换得到四条边相等，即邻边相等，即可得证；

（2）①如图2，连接EF，由ABCD为矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由E为AD中点，得到AE=DE，由折叠的性质得到BG=AB，EG=AE=ED，且∠EGB=∠A=90°，利用HL得到直角三角形EFG与直角△EDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DF=FG，由BF=BG+GF，等量代换即可得证；

②CF=DF，理由为：不妨假设AB=DC=a，DF=b，表示出AD=BC，由①得：BF=AB+DF，进而表示出BF，CF，在直角△BCF中，利用勾股定理列出关系式，整理得到a=2b，由CD-DF=FC，代换即可得证．

（1）正方形；

（2）①如图2，连结EF，

在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°

∴∠EGF=∠D=90°，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∵EG=ED，EF=EF，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴ DF=FG，

∴ BF=BG+GF=AB+DF；

②不妨假设AB=DC=，DF=，

∴AD=BC=，

由①得：BF=AB+DF

∴BF=，CF=，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

∴，

∴，

∵，

∴，即：CD=DF，

∵CF=DF-DF，

∴3CF=DF.