Question

【题目】请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．

（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF　 　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）=；（3）.

【解析】试题分析：（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；

（2）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（1）同理证出△EMG≌△ENF得出结论；

（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．

试题解析：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，

∴∠AEG=∠CEF，

又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，

∴△EAG≌△ECF（ASA）

∴EG=EF

（2）EF=EG；

过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，

则∠MEN=90°，EM=EN，

∴∠GEM=∠FEN，

又因为∠EMG=∠ENF=90°，

∴△EMG≌△ENF

∴EF=EG．

故答案为：=．

（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：

则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，

∴，

∴，

又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，

∴∠FEN=∠GEM，

∴Rt△GME∽Rt△FNE，

∴.