Question

【题目】已知在四边形中，，.

(1)如图1．连接，若，求证：.

(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;

(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出；

（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．

（1）证明：如图1，

∵，

∴

在和中，

∴

∴

（2）如图2，

延长至点，使得，连接

∵

∴

∵

∴

∵，，

∴

∴，，

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴

（3）

如图3，在延长线上找一点，使得，连接，

∵

∴

∵

∴

在和中，

∴

∴，

∴

∵

∴

在和中，

∴

∴

∴

∴

∴.