Question

【题目】已知在四边形中，∠A=∠C=90°．

（1）如图1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的邻补角，请写出BE与DF的位置关系，并证明．

（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．

（3）如图3，若BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的邻补角（即∠CDE=，∠CBE=），则∠E= ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54°

【解析】分析：（1）延长BE、FD交于G．由四边形ABCD内角和为360°及邻补角定义，可得到∠ABC=∠CDN．由角平分线性质得到∠ABE=∠FDN，进一步得到∠ABE=∠GDE，由三角形内角和定理可得结论．

（2）连接DB．由四边形ABCD内角和为360°及邻补角定义，可得到∠MBC+∠CDN=180°．由角平分线性质得到∠CBF+∠CDE=90°，进一步得到∠EDB+∠DBF=180°，由平行线的判定可得结论．

（3）延长DC交BE于H．先求出∠CDE+∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

详解： （1） BE⊥DF ．证明如下：

延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°．

又∵∠ADC+∠CDN=180°，∴∠ABC=∠CDN．

∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDN，∴∠ABE=∠ABC，∠FDN=∠CDN，∴∠ABE=∠FDN．

又∵∠FDN=∠GDE，∴∠ABE=∠GDE．

又∵∠AEB=∠GED，∴∠A=∠G=90°，∴BE⊥DF．

（2）DE∥BF．证明如下：

连接DB．∵∠ABC+∠MBC=180°，∠ADC+∠CDN=180°．

又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°．

∵BF、DE平分∠ABC、∠ADC的邻补角，∴∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN，∴∠CBF+∠CDE=90°．

在Rt△BDC中，∵∠CDB+∠DBC=90°，∴∠CDB+∠DBC+∠CBF+∠CDE=180°，∴∠EDB+∠DBF=180°，∴DE∥BF．

（3）延长DC交BE于H．由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°．∵BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°=36°，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°﹣36°=54°．