Question

【题目】如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：
①DE=DF；
②∠EDF=90°；
③四边形CEDF不可能为正方形；
④四边形CEDF的面积保持不变．
一定成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①连接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，①正确；
②∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，②正确；
③当E、F分别为AC、BC中点时，DE⊥AC，DF⊥BC，又∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形CDFE是正方形，③错误；
④如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，

则DM=DN，
在Rt△DME和Rt△DNF中，
，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变，④正确，
所以答案是：①②④．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．