Question

【题目】在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：
①依题意补全图1；
②求证：∠BAD=∠EDC；
③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°，．
小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：
想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE=135°，只需证△ADF≌△DEC．
想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△DCE．
想法三：过点E作BC所在直线的垂直线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF．
…
请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°
（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图①所示；

②证明：∵∠B=90°，

∴∠BAD+∠BDA=90°，

∵∠ADE=90°，点D在线段BC上，

∴∠BAD+∠EDC=90°，

∴∠BAD=∠EDC；

②证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，

∵BF=BD，∠B=90°，

∴∠BFD=45°，

∴∠AFD=135°，

∵BA=BC，

∴AF=CD，

在△ADF和△DEC中，

，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE=∠AFD=135°；

证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，

∴DC=DF，∠DFC=∠DCF，

∵∠B=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，∠DFC=45°，

∴∠DFC=90°，∠AFD=135°，

∵∠ADE=∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠EDC，

在△ADF≌△CDE中， ，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠AFD=∠DCE=135°；

证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴∠EFD=90°，

∵∠B=90°，

∴∠EFD=∠B，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB=DF，BD=EF，

∵AB=BC，

∴BC=DF，BC﹣DC=DF﹣DC，

即BD=CF，

∴EF=CF，

∵∠EFC=90°，

∴∠ECF=45°，∠DCE=135°；

（2）

解：解：∠DCE=45°，

理由：过E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD=90°，

∴∠EDF=∠DAB=90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴DB=EF，AB=DF=BC，

∴BC﹣BF=DF﹣BF，

即FC=DB，

∴FC=EF，

∴∠DCE=45°．

【解析】（1）①根据题意作出图形即可；②根据余角的性质得到结论；③证法1：如图1，在AB上取点F，使得BF=BD，连接DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠BFD=45°，根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠AFD=135°；证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，根据全等三角形的性质即可得到结论；证法3：过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过E作EF⊥DC于F，根据全等三角形的性质得到DB=EF，AB=DF=BC，根据线段的和差得到FC=EF，于是得到结论．
【考点精析】利用全等三角形的性质和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．