Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′= ，那么称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标；
（2）如果点P在函数y=x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）（3，2）
（2）

解：∵点P在函数y=x﹣2的图象上，

∴点P的坐标为（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根据关联点的定义，点Q的坐标为（x，2）．

又∵点P与点Q重合，

∴x﹣2=2，解得x=4，

∴点P的坐标是（4，2）；

（3）

解：点M（m，n）的“关联点”N，由关联点的定义，得

第一种情况：当m≥n时，点N的坐标为（m，m﹣n），

∵N在函数y=2x2的图象上，

∴m﹣n=2m2，n=﹣2m2+m，即yM=﹣2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|，

①当0≤m≤ ，﹣4m2+m＞0，

MN=﹣4m2+m=﹣4（m﹣ ）2+ ，

∴当m= 时，线段MN的最大值是 ；

②当 ＜m≤2时，﹣4m2+m＜0，

MN=4m2﹣m=4（m﹣ ）2﹣ ，当m=2时，线段MN的最大值是14；

第二种情况：当m＜n时，点N的坐标为（m，n﹣m），

∵N在函数y=2x2的图象上，

∴n﹣m=2m2，即n=2m2+m，

∴yM=2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN=m，

∴当m=2时，线段MN的最大值是2；

综上所述：当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．

【解析】（1）∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5﹣3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2），
所以答案是：（3，2）；
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．