Question

【题目】如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1： ，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

Answer 1

【答案】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F= ∠AEB，
∵C是 的中点，∴ ，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC= ∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ，即 ，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴ ，即 ，
∴CB=2 ，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG= AB=4，
∴CG= =2，
∴△BCD的面积= BDCG= ×2×2=2．
【解析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F= ∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出 ，证明△CBE∽△CDB，得出 ，求出CB=2 ，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG= AB=4，由勾股定理求出CG= =2，即可得出△BCD的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．