Question

【题目】如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；

（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∠ABC＝25°．

【解析】

（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；

（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；

（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN，结合条件可得∠DBN＝∠ABC，再根据∠CBD＝50°，可求得∠ABC的度数．

解：（1）∵AM∥BN，∠A＝80°，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，

∴∠ABP+∠PBN＝100°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；

（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB＝2：1；

（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN，

由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，

∴∠ABC+∠DBN＝50°，

∴∠ABC＝25°．