Question

【题目】设函数f（x）= ﹣ax，e为自然对数的底数 （Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2 ， f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）当b=1时，若存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I） ﹣a（x＞0，且x≠1）， ∵函数f（x）的图象在点（e2 ， f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，
∴f′（e2）= ﹣a= ，f（e2）= =﹣ ，
联立解得a=b=1．
（II）当b=1时，f（x）= ，f′（x）= ，
∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]， ．
∴f′（x）+a= =﹣ + ，
∴[f′（x）+a]max= ，x∈[e，e2]．
存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a= ，
①当a 时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）min= ，解得a≥ ．
②当a 时，由f′（x）= ﹣a在[e，e2]上的值域为 ．
（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，
∴f（x）min=f（e）= ，不合题意，舍去．
（ii）当﹣a＜0时，即 时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，
且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈ 时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）min=f（x0）= ﹣ax0 ，x0∈（e，e2）．
∴a≥ ，与 矛盾．
（或构造函数 即可）．
综上可得：a的最小值为
【解析】（I） ﹣a（x＞0，且x≠1），由题意可得f′（e2）= ﹣a= ，f（e2）= =﹣ ，联立解得即可．（II）当b=1时，f（x）= ，f′（x）= ，由x∈[e，e2]，可得 ．由f′（x）+a= =﹣ + ，可得[f′（x）+a]max= ，x∈[e，e2]．存在 x1 ， x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a= ，对a分类讨论解出即可．