Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6），且与直线 相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ BC⊥x轴，垂足为点C（4,0），且点B在直线y= x+1上，

∴点B的坐标为（4,3），

∵抛物线y=ax2+bx+1经过点（2,6）和点（4,3），

∴ ，解得 ，

故抛物线的解析式为y=-x2+ +1.

（2）

解：设动点P的坐标为（x, -x2+ +1）,则点E的坐标为（x, ）,

∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，

∴PE=PD-ED=（-x2+ +1）-（ ）=-x2+4x=-(x-2)2+4,

∴当x=2时，PE有最大值4.

（3）

解：连接CE，PB，∵PC与BE互相平分，

∴四边形PECB是平行四边形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

解得：x1=1,x2=3.

∵点Q为PC的中点，

∴①当x=1时，点P的坐标为（1， ），

由中点公式可得Q（ ， ），

∴点Q的坐标为（ ， ）.

②当x=3时，点P的坐标为（3， ），

由中点公式可得Q（ ， ），

∴点Q的坐标为（ ， ），

综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）.

【解析】（1）抛物线的解析式里有两个未知数，需要两个坐标的点，已知（2,6），需要求出点B坐标，因为BC⊥x轴，则B的横坐标为4，代入直线解析式即可求出B的坐标，再把（2,6）和B的坐标代入抛物线，即可求得；（2）因为PD⊥x轴于点D，则PE=PD-DE，且PD=P的纵坐标，DE=E的纵坐标，可设P的横从标为x，则可分别表示出P的纵坐标，E的纵坐标，即可得到PE关于x的关系式，求其最值，一般还要注意x的取值范围；（3）由PC与BE互相平分，可得四边形PECB是平行四边形，则PE=BC，由（2）得PE=-x2+4x，构造方程解出x的值，再运用中点公式（ ， ）求出点Q，或者求出直线PC，再求PC与BE的交点即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．