Question

【题目】已知，是等边三角形，是直线上一点，以为顶点做 ． 交过且平行于的直线于，求证：；当为的中点时，（如图1）小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取的中点，连结，然后证明． 从而得到，我们继续来研究：

（1）如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：

（2）如图3、当D在BC的延长线上时，求证：

（3）当在的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立（不必证明）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4）见解析，，仍成立

【解析】

（1）在AB上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；

（2）在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形得出∠F=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；

（3）在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论．

（1）证明：在AB上截取AF=DC，连接FD，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等边三角形，

∴∠BFD=60°，

∴∠AFD=120°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=120°=∠AFD，

而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（2）证明：在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等边三角形，

∴∠F=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=60°=∠F，

而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，

又∵∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：

在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴∠FAD+∠ADB=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∵∠DBF=∠ABC=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴∠AFD=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=∠ABC=60°，

∴∠AFD=∠DCE，

∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE．