Question

【题目】如图甲，直线PA交O于A、E两点，PA的垂线CD切O于点C，过点A作O的直径AB.

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）将直线CD向下平行移动，在将直线CD向下平行移动的过程中，如图乙、丙，试指出与∠DAC相等的角（不要求证明）.
（3）在图甲中，若DC+DA=6，O的直径为10，求AE的长度.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，连接OC，

∵OA、OC是O的半径，

∴ OA=OC.

∴ ∠OAC=∠OCA，

∵CD切于圆O于点C,

∴ CD⊥OC，

又∵CD⊥PA，

∴ OC//PA，

∴ ∠PAC=∠OCA，

∴ ∠OAC=∠PAC，

∴ AC平分∠DAB.

（2）

∠DAC=∠BAF，理由如下：

如图2，连接BC，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACF+∠BCF=90°，

又∵在Rt△ACD中，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠FCB，

又∵∠BAF =∠FCB，

∴∠DAC=∠BAF.

如图3，∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

又∵∠DAF+∠AFD=90°，∠AFD =∠CBA，

∴∠DAF=∠CAB，

∴∠DAF-∠CAF=∠CAB-∠CAF.

∴∠DAC=∠BAF.

（3）

解：如图4所示：连接OC，过点A作AF⊥CO，垂足为F，连接CB、CE.

∵DC垂直AE，OC垂直DC，AF垂直CO，

∴ 四边形AFCD为矩形.

∴ DC=AF，AD=CF.

设AD的长为x，则AF=6-x，OF=5-x.

在Rt△AFO中，OA2=AF2+OF2，即：25=（6-x）2+(5-x)2，

解得：x1=2，x2=9(舍去).

∴ AD=2，DC=4.

由（1）可知：∠DAC=∠BAC，

又∵∠CAD+∠DCA=90°，∠CAB+∠ABC=90°，

∴ ∠DCA=∠ABC，

∵∠DEC=∠ABC，

∴ ∠DEC=∠DCA，

又∵∠EDC=∠ADC，

∴ △EDC~△CDA，

∴ ，即： ，

∴ DE=8,

∴ AE=DE-AD=8-2=6.

【解析】（1）需要证明∠OAC=∠PAC，连接OC，则OC=OA，则∠OAC=∠OCA，所以需要证明∠PAC=∠OCA，则需要证明AD//OC，而CD⊥PA，则CD⊥OC，由CD切于圆O于点C,可证得；（2）如图2，根据两角和为90°，等量代换得到∠DAC=∠FCB，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAF =∠FCB，从而证得∠DAC=∠BAF；如图3，同理由两角和为90°，等量代换得到∠DAF=∠CAB，则∠DAC=∠BAF.（3）连接OC，过点A作AF⊥CO，垂足为F，连接CB、CE，则易得DC=AF，AD=CF，可设AD的长为x，则AF=6-x，OF=5-x，在Rt△AFO中，由勾股定理构造方程解出x，由（1）和（2）可证得∠DEC=∠DCA，又∠EDC=∠ADC，则△EDC~△CDA，由对应边成比例解出DE，则AE=DE-AD.
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆的定义(平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点称为圆心，定长称为半径)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．