Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2= GF×AF；④当AG=6，EG=2 时，BE的长为 ，其中正确的结论个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形，故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF= GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ = ，即DF2=FOAF．
∵FO= GF，DF=EG，
∴EG2= GFAF．故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2= GFAF，AG=6，EG=2 ，
∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2 ，AF=10，
∴AD= =4 ．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴ = ，即 = ，
∴GH= ，
∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = ．故④正确．
故选D．
先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．