【题目】在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ． （结果保留根号）

参考答案：

【答案】6 +3
【解析】解：延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，BE平分∠B，

∴∠ABE=∠CBE=45°,

又∵AD∥BC,

∴∠CBE=∠AEB

∴∠ABE=∠AEB=45°，

∴AB=AE=9，

在直角三角形ABE中，

∴BE= = ，

又∵EF平分∠BED，

∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G

∴BG=BE=

∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，

∴△EFD∽△GFC

∴

设CG=x，DE=2x，

∴AD=9+2x=BC

∵BG=BC+CG

∴ =9+2x+x

∴x=

∴BC=9+2×（3﹣3）=

先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．

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