Question

【题目】已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．

（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF=DE；

（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2) （1）中的结论不成立，有DE=BF﹣EF，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根据HL可证得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得结论；

（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，同（1）：证明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出结论．

试题解析：（1）如图①，连接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

∵∠ACB=∠AEF=90°，AF=AF，

∴Rt△ACF≌Rt△AEF，

∴CF=EF，

∴BF+EF=BF+CF=BC，

∴BF+EF=DE；

（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，理由是：

连接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

∵∠E=∠ACF=90°，AF=AF，

∴Rt△ACF≌Rt△AEF，

∴CF=EF，

∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，

即DE=BF-EF．