Question

【题目】四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】∠OBA﹣∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA﹣∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°
【解析】解：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴∠C=∠BOD=2∠A，
∴∠A=60°，∠C=120°．
延长DO交⊙O于点E，延长BO交⊙O于点F．
①当点A1在 上时，
∵∠CBA1+∠CDA1=180°，∠CBO+∠CDO=360°﹣120°﹣120°=120°，
∴∠CBO+∠OBA1+∠COD﹣∠ODA1=180°，
∴∠OBA1﹣∠ODA1=60°；
②当点A2在 上时，
∵∠CBA2+∠CDA2=180°，∠CBO+∠CDO=360°﹣120°﹣120°=120°，
∴∠CBO+∠OBA2+∠COD+∠ODA2=180°，
∴∠OBA2+∠ODA2=60°；
③当点A3在 上时，
∵∠CBA3+∠CDA3=180°，∠CBO+∠CDO=360°﹣120°﹣120°=120°，
∴∠CBO﹣∠OBA3+∠COD+∠ODA3=180°，
∴∠ODA3﹣∠OBA3=60°；
④当点A4在 上时，
∠OBA4+∠ODA4=360°﹣120°﹣120°=120°．
综上所述，∠OBA和∠ODA的数量关系是：∠OBA﹣∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA﹣∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°．
所以答案是：∠OBA﹣∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA﹣∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和圆周角定理，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可以解答此题．