Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则 cos∠MCN= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ，
3BC2=AB2 ，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= =2 ，
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴cos∠MCN= = = ，
故答案为： ．
连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得cos∠MCN的值即可．