Question

【题目】如果两个角之差的绝对值等于45°，则称这两个角互为“半余角”，即若|∠α－∠β |＝45°，则称∠α、∠β互为半余角．（注：本题中的角是指大于0°且小于180°的角）

（1）若∠A＝80°，则∠A的半余角的度数为　　；

（2）如图1，将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠（点M在线段AD上，点N在线段CD上）使点D落在点D′处，若∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，求∠DMN的度数；

（3）在（2）的条件下，再将纸片沿着PM折叠（点P在线段BC上），点A、B分别落在点A′、B′处，如图2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度数．

Answer 1

【答案】（1）35°或125°；（2）45°或75°；（3）10°或130°.

【解析】

（1）设∠A的半余角的度数为x°，根据半余角的定义列方程求解即可；

（2）设∠DMN为x°.根据折叠的性质和半余角的定义解答即可；

（3）分两种情况讨论：①当∠DMN=45°时，∠DMD'=90°，∠AMP=50°，∠DMA'=80°，根据∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'计算即可.

②当∠DMN=75°时，∠DMD'=150°，∠AMP=80°，∠DMA'=20°，根据∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'计算即可.

（1）设∠A的半余角的度数为x°，根据题意得：

|80°-x|=45°

80°-x=±45°

∴x=80°±45°，

∴x=35°或125°.

（2）设∠DMN为x°，根据折叠的性质得到∠D'MN=∠DMN=x°.

∴∠AMD'=180°－2x.

∵∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，

∴|180°－2x－x|=45°，

∴|180°－3x|=45°，

∴180°－3x=45°或180°－3x=－45°，

解得：x=45°或x=75°.

（3）分两种情况讨论：①当∠DMN=45°时，∠D'MN=45°，

∴∠DMD'=90°，∠AMP=∠A'MP=45°+5°=50°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=80°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=90°-80°=10°.

②当∠DMN=75°时，∠D'MN=75°，

∴∠DMD'=150°，∠AMP=∠A'MP=75°+5°=80°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=20°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=150°-20°=130°.

综上所述：∠A′MD′的度数为10°或130°.