Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．

（1）若点G在点B的右边．试探索：EHBG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．

Answer 1

【答案】（1）EHBG的值是定值4，（2）在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°

【解析】分析：根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到 根据正方形的性质得到 判断出证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）分三种情况讨论：利用（1）得出≌，再判断出△BHE是等腰直角三角形，即可得出结论．

详解：（1）的值是定值，

又 ，∴

∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，

∴，∴

在和中，，

∴≌（AAS）；

∴

又AG=AB+BG，AB=4，

∴EH=AB+BG，

∴EHBG=AB=4；

（2）(I)当点G在点B的左侧时，如图1，

同(2)①可证得：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴GB+BH=AG+GB，

∴BH=AG=EH,又，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴

(II)如图2，当点G在点B的右侧时，

由(2)①证得：△DAG≌△GHE.

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴AB+BG=BG+GH，

∴AG=BH，又EH=AG

∴EH=HB,又，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴

(III)当点G与点B重合时，

如图3,同理可证：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，

∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形，

∴

综上,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,∠EBH都等于