Question

【题目】如图1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．

（1）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，求证：CD＝CF；

（2）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）6或4

【解析】

（1）连接FD，证明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题；

（2）分两种情形分别画出图形，利用（1）中结论求出CD即可解决问题．

（1）解：连接FD，设DE与AC交于点G

∵四边形CEFB是平行四边形

∴BC∥EF

∵AC⊥BC

∴EF⊥AC

∵AD⊥DE，EF⊥AC，∠DGA=∠CGE

∴∠DAC=∠DEF，

又∵AD=ED，AC=EF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC=DF，∠ADC=∠EDF，即∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC，

∴∠FDC=∠ADE=90°，

∴△DFC为等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（2）解：如图，设AE与CD的交点为M，

∵四边形CEFB为菱形

∴CE=CB

∵△ADE、△ACB为等腰直角三角形

∴CA=CB

∴CE=CA，

∵DE=DA，

∴CD垂直平分AE，

∵AE=,AB=

∴DM=EM=AE=，AC=BC=AB=

∴CE=

∴CM==，

∴CD=DM+CM=，

∵CF=CD，

∴CF=6；

如图，设AE与CD的交点为M，

同法可得CD=CM-DM=-=，

∴CF=CD=4；

综上所述，满足条件的CF的值为6或4．