Question

【题目】如图，抛物线经过A（，0），B（，0），C（0，2）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；

（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（-1，-1）；（3）（，）．

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据余角的性质，可得∠AMN=∠NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据解方程组，可得H点坐标．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为，将A（﹣2，0），B（，0）代入解析式，得：，解得：．∴抛物线的解析式是；

（2）由题意可求得AC的解析式为，如图1，设D点的坐标为（t，），过D作DE⊥x轴交AC于E点，∴E点的坐标为（t，t+2），DE=，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，

=，∵﹣2＜t＜0，

∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）存在点H满足∠AMH=90°，由（1）知M点的坐标为（，），如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，∴∠AMN=∠NKM．∵∠ANM=∠MNK，∴△AMN∽△MKN，∴，∴=ANNK，∴，解得，∴K点坐标为（，0），∴直线MK的解析式为，∴，把①代入②，化简得．△=﹣4×48×55=64×4=256＞0，∴，，将代入，解得，∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，此时点H的坐标为（，）．