Question

【题目】如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．

（1）求证：△BDG∽△DEG；

（2）若EGBG=4，求BE的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2） 4

【解析】

试题分析：（1）根据图形的旋转的性质可得△BCE≌△DCF，可得∠FDC=∠EBC，根据BE平分∠DBC，可得∠DBE=∠EBC，从而得到∠FDC=∠EBD，∠DGE是公共角可得出结论；（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．

试题解析：（1）∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC=∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∴∠FDC=∠EBD，∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG；

（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22．5°=∠FDC，∴∠BDF=45°+22．5°=67．5°，∠F=90°﹣22．5°=67．5°=∠BDF，∴BD=BF，∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67．5°=∠DEG，∴∠DGB=180°﹣22．5°﹣67．5°=90°，即BG⊥DF，∵BD=BF，∴DF=2DG，∵△BDG∽△DEG，BG·EG=4，∴，∴BG·EG=DG·DG=4，∴DG=2，∴BE=DF=2DG=4．