Question

【题目】已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；

点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），

（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；

（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当x=时，PQ∥AB；（2）x=；（3）见解析

【解析】

试题（1）首先得出△PQC为等边三角形，进而表示出PC=4﹣x，CQ=2x，由4﹣x=2x，求出答案；

（2）根据题意得出CQ=PC，即2x=（4﹣x），求出即可；

（3）根据题意得出QH=DP，进而判断出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解：（1）∵∠C=60°，

∴当PC=CQ时，△PQC为等边三角形，

于是∠QPC=60°=∠B，

从而PQ∥AB，

∵PC=4﹣x，CQ=2x，

由4﹣x=2x，

解得：x=，

∴当x=时，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴CQ=PC，

即2x=（4﹣x），

解得：x=；

（3）OQ=PO，理由如下：

作QH⊥AD于H，如图（3），

∵AD⊥BC，

∴∠QAH=30°，BD=BC=2，

∴QH=AQ=（2x﹣4）=x﹣2，

∵DP=BP﹣BD=x﹣2，

∴QH=DP，

在△OQH和△OPD中，

，

∴△OQH≌△OPD（AAS），

∴OQ=OP．