Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图．

（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（3，4），N（ ，0），T（1， ）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；
（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答．

问题1	问题2
若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为 ．	若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙0的限距点存在，坐标为（1，0）．

②∵点D坐标为（2，0），⊙O半径为1，DE、DF分别切⊙O于E、F，

∴切点坐标为（ ， ），（ ，﹣ ），如图所示，不妨设点E（ ， ），点F（ ，﹣ ），

EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′，则E′（﹣ ，﹣ ），F′（﹣ ， ）．

设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x，

①当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足﹣1≤x≤﹣ ．

②当点P在线段DE、DF（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P关于⊙O的限距点不存在．

③当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′（1，0），满足PP′=1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x=1．

综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为﹣1≤x≤﹣ 或x=1

（2）；0＜r＜
【解析】解：（2）问题1：如图2中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，
∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，
∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，
∵PC∥ED，
∴ = ，
∴PC= ，
由题意：r≤ ﹣r≤2r，
∴ ，
∴r的最小值为 ．
问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，
∵HC= ，
∴ ﹣r＞2r，
∴r＜ ，
∴0＜r＜ 时点P的限距点不存在．
故答案分别为 ，0＜r＜ ．