Question

【题目】如图， 是的外接圆， 点在边上， 的平分线交于点，连接，过点作的平行线，与的延长线相交于点.

（1）求证： 是的切线；

（2）求证：△PBD∽△DCA；

（3）当时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB= .

【解析】试题分析：（1）连接OD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BAC是直角，再根据AD是角平分线以及圆周角定理可得∠COD是直角，根据两直线平行，内错角相等可得∠ODP=90°，从而可得PD是切线；

（2）由∠P=∠ADC，∠PBD=∠ACD，即可得△PBD∽△DCA；

（3）由勾股定理可得BC=10,再根据OD垂直平分BC，可得到DC=DB=5，再根据△PBD∽△DCA，可得 ,从而可得PB的长.

试题解析：（1）连接OD，

∵BC过圆心O，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠DOC=2∠DAC=90°，

∵PD//BC，∴∠ODP=∠DOC=90°，即OD⊥PO，

∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD//BC，∴∠P=∠ABC，又∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ABD+∠ACD=180°，

∴∠PBD=∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

（3）∵∠BAC=90°，∴BC==10,

∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，

∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴DB2+DC2=BC2，

∴DC=DB=5，

∵△PBD∽△DCA，

∴ ,∴PB= = .