Question

【题目】在四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点Q是AD边上一点，BQ交AE于点P，∠ABQ=∠DAE，点F是AB边的中点．

（1）当四边形ABCD是正方形时，如图（1）．

①若BE=BA，求证：△ABP≌△EBP；

②若BE=4DE，求证：AF2=AQ·AD．

（2）当四边形ABCD是矩形时，如图（2），连接FQ，FD．若BE=4DE，求证：∠AFQ=∠ADF．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）①由HL可证明Rt△ABPRt△EBP；

②证明：过点E作EG⊥AD于点G可得△DEG∽△DBA，可得，以及△BAQ∽△AGE，可得，设DG=a，则GE=a，DA=5a，AB=5a，AG=4a．AQ=，代入即可证明：AF2=AQ·AD；

（2）延长AE交于CD边于点H，设DH=m，由AB∥CD，可得△DEH∽△BEA，可得AF=2m，由△BAQ∽△ADH，可得 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，可证△AFQ∽△ADF，即可得出∠AFO=∠ADF．

（1）①证明：在正方形ABCD中，∠ABQ=∠DAE．

∵∠ABQ＋∠BAP=∠DAE＋∠BAP=∠BAD=90°，

∴∠BPA=∠BPE=90°．

在Rt△ABP和Rt△EBP中，

，

∴Rt△ABPRt△EBP

②证明：过点E作EG⊥AD于点G，如图

∴∠GED=∠BAD=90°

∵∠GDE=∠ADB

∴△DEG∽△DBA，

∴

设DG=a，则GE=a，

∴DA=5a，AB=5a，AG=4a．

∵∠ABQ=∠DAE，∠BAQ=∠AGE，

∴△BAQ∽△AGE，

∴

即AQ=

∵F是AB边的中点，

∴

又∵AQ·AD=，

∴AF2=AQ·AD

（2）证明：延长AE交于CD边于点H，设DH=m

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△DEH∽△BEA，

∴即AB=4m，

∴AF=2m

∵∠BAQ=∠APB=90°

∴∠ABQ+∠BAP=∠DAH+∠BAP=90°

∴∠ABQ=∠DAH

∵∠BAQ=∠ADH=90°，∠ABQ=∠DAH

∴△BAQ∽△ADH，，

∴ 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，

∴

又∠FAO=∠DAF，

∴△AFQ∽△ADF，

∴∠AFO=∠ADF．