Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BC上一点，以点O为圆心、OB的长为半径作圆，交BC于点F，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E．

（1）求证：AE＝DE；

（2）若，CF＝2，BF＝10，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝7．

【解析】

（1）连接OD，利用切线的性质，得到∠ODE＝90°，逐步得到∠A＝∠ADE，等角对等边即可证明.

（2）在Rt△ABC中，由题意可得BC＝CF＋FB＝12，AC＝9，AB＝15；连接DF，由题意可得△FBD∽△ABC，根据对应边成比例即可求解.

（1）证明：如图，连接OD.

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADE＋∠ODB＝90°.

∵OD＝0B，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠ADE＋∠B＝90°

又∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝DE.

（2）在Rt△ABC中：BC＝CF＋FB＝12，

∴AC＝9，

∴AB＝＝15.

如图，连接DF.

∵BF是⊙O的直径，

∴∠FDB＝90°＝∠ACB.

又∵∠B＝∠B，

∴△FBD∽△ABC，

∴

即

∴BD＝8，

∴AD＝AB－BD＝7.