Question

【题目】如图，⊙O为短形ABCD的外接圆，其半径为3．

（1）用尺规作图作出∠ABC的平分线，并标出它与劣弧AD的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；

（2）若（1）中的点E到弦AD的距离为2，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）AB=－2．

【解析】

（1）按照角平分线作法，进行画图即可；

（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，连接DE，BD，设BE与AD交于点H，由矩形的性质可得：∠DAB=∠ABC=90°，故BD是⊙O的直径，即BD=6．可证AB=AH．EH=ED，HF=DF=EF=2．在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程进行解答即可．

（1）∠ABC的平分线及点E如图所示．

（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，

连接DE，BD，设BE与AD交于点H

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠ABC=90°

∴BD是⊙O的直径，即BD=6．

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=45°，∠AHB=45°，

∴AB=AH．

∵∠EHF=∠AHB=45°，∠EDH=∠ABE=45°，

∴EH=ED，

∴HF=DF=EF=2．

设AB=x，则AD=AH＋DH=x＋4．

在Rt△ABD中，由勾股定理，

得AB2＋AD2=BD2，

即x＋(x＋4)2=62，

解得：x=－2(另一解不合题意，已舍去)，

∴AB=－2．