Question

【题目】小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证：.

（1）小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把绕点旋转得到，使，点，分别在边，上，如图2，此时她证明了.请你证明.

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为，.请你继续完成原题的证明.

（3）如果在原题中添加条件：，，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析

【解析】（1）证明，即可求证.

（2）如图2，，即可求证.

（3）不唯一.

【解答】（1）如图1，

在菱形中，

，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴.

（2）如图2，由（1），∵，

∴ ，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴.

（3）不唯一，举例如下：

层次1：①求的度数.答案：.

②分别求，的度数.答案：.

③求菱形的周长.答案：16.

④分别求，，的长.答案：4，4，4.

层次2：①求的值.答案：4.

②求的值.答案：4.

③求的值.答案：.

层次3：①求四边形的面积.答案：.

②求与的面积和.答案：.

③求四边形周长的最小值.答案：.

④求中点运动的路径长.答案：.