【题目】如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少秒时BC=2（单位长度）？

（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）1或2；（2）1.5秒；（3）5或 3.5．

【解析】整体分析：

（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论；（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．

解：（1）设运动t秒时，BC=2单位长度，

①当点B在点C的左边时，

由题意得：3t+2+t=6，

解得：t=1；

②当点B在点C的右边时，

由题意得：3t﹣2+t=6，

解得：t=2．

（2）（2+4）÷（3+1）=1.5（秒）．

答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过1.5秒长时间．

（3）存在关系式BD﹣AP=3PC．

设运动时间为t秒，

①当t=(4+2)÷（3+1）=1.5时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，

PA+3PC=AB+2PC=2+2PC，

当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD﹣AP=3PC；

②当1.5＜t＜2.5时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2：

当点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC

当PC=0.5时，有BD=AP+3PC，即 BD﹣AP=3PC，

③当t=2.5时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，

当PC=0.5时，有BD=AP+3PC，即BD﹣AP=3PC，

∵P在C点左侧或右侧，

∴PD的长有2种可能，即5或3.5．

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