Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒lcm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（I）试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

（Ⅱ）如图①，连接EF，求证：四边形AEFD是平行四边形；

（Ⅲ）如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（I）AE=t，AD=12-2t，DF=t；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当t=3时，四边形EBFD是矩形

【解析】

（I）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；

（Ⅱ）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（Ⅲ）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．

（I）由题意得，AE=t，CD=2t，

则AD=AC-CD=12-2t，

∵DF⊥BC，∠C=30°，

∴DF= CD=t；

（Ⅱ）∵∠ABC=90°，DF⊥BC，

∴AB∥DF，

∵AE=t，DF=t，

∴AE=DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（Ⅲ）当t=3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC=90°，∠C=30°，

∴BC=AC=6cm，

∵BE∥DF，

∴BE=DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6-t=t，

解得，t=3，

∵∠ABC=90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t=3时，四边形EBFD是矩形．