Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．

（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=__°，此时直线CE与AB的位置关系是__．

（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是_____．

（4）如图3，当点B、D、E三点不在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

Answer 1

【答案】 （1）DE∥AC (2) 120° EC⊥AB． S1=S2） (4) S1=S2仍然成立

【解析】试题分析：

（1）由旋转的性质可得∠EDC=∠BAC，DC=AC结合∠BAC=60°，可得△ADC是等边三角形，从而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；

（2）如下图2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延长EC交AB于点F，由旋转的性质可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，结合B、D、E的三点在同一直线上可得∠CBE=∠E=30°，从而可得旋转角∠BCE=120°，结合∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，从而可得EC⊥AB；

（3）如上图2，过点D作DH⊥BC于点H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，结合∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，结合BC=EC即可得到S1=S2；

（4）如下图3，过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，与（3）同理可得△AGC≌△DHC，从而可得AG=HD，结合EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.

试题解析：

（1）DE∥AC．理由：∵△ABC旋转后与△DCE全等，

∴∠A=∠CDE，AC=DC．

∵∠BAC=60°，AC=DC，

∴△DAC是等边三角形．

∴∠DCA=60°．

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠DCA=∠CDE=60°，

∴DE∥AC．

（2）120°；EC⊥AB，理由如下：

如下图2，延长EC交AB于点F，

∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°，

由旋转的性质可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，

∵B、D、E的三点在同一直线上，

∴∠CBE=∠E=30°，

∴旋转角∠BCE=120°，

又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，

∴∠BFC=120°-30°=90°，

∴EC⊥AB于点F；

（3）S1=S2，理由如下：

如上图2，连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，

∴∠AFC=∠DHC=90°，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACF=∠DCH，

又∵AC=DC，

∴△ACF≌△DCH，

∴AF=DH，

又∵EC=BC，

∴CE·AF=BC·DH，即S1=S2；

（4）S1=S2仍然成立，理由如下：

如下图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，

∴∠AGC=∠DHC=90°

∵△ABC旋转后与△DCE全等

∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．

∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，

∴∠ACG=∠DCH，

又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，

∴△AGC≌△DHC，

∴AG=DH，

∴ECAF=CBDG，即S1=S2．