Question

【题目】如图，甲、乙两人分别从A（1， ）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2 ， 求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为A坐标为（1， ），

所以OA=2，∠AOB=60°．

因为OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

当 = 时，解得t=0，

即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行

（2）证明：因为甲达到O点时间为t= ，乙达到O点的时间为t= = ，所以甲先到达O点，所以t= 或t= 时，O、M、N三点不能连接成三角形，

①当t＜ 时，如果△OMN∽△OBA，则有 = ，解得t=2＞ ，所以，△OMN不可能相似△OBA；

②当 ＜t＜ 时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；

③当t＞ 时， = ，解得t=2＞ ，所以当t=2时，△OMN∽△OBA

（3）证明：①当t≤ 时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，

在Rt△MOH中，因为∠AOB=60°，

所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

OH=0Mcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

②当 ＜t≤ 时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，

在Rt△MOH中，MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

③当t＞ 时，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，

综上所述，s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

因为s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，

所以当t=1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2 km．

【解析】（1）用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；（2）根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；（3）在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．
【考点精析】利用二次函数的最值和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．