Question

【题目】已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：问题1：过点D作DE⊥BC于点E， ∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC﹣BE=2，
∴DC=2 ，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=2﹣x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2 ， 即x2+32+（2﹣x）2+1=8，
化简得x2﹣2x+3=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ = = ，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 = = ，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，连接DG

∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴ = ，
∴G是AB上一定点，
∵四边形PBQE是平行四边形，
∴ = =
∴当GP最小时，QP有最小值
在△GDP中，当GP⊥CD时，GP最小，
当PQ垂直于CD时，P点在CD的延迟线上，
∴当点P与点D重合时，GP取最小值，
∴QPmin=QD
∵AB=2
∴AG= ，
∴DG= = ，
∴QD= DG= = ，
∴QPmin=QD= ，
故对角线PQ的最小值为 ．


【解析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x2+32+（2﹣x）2+1=8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等； 问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得 = = ，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
问题4：设PQ与AB相交于点G，连接DG，由平行四边形PBQE得 = ，可知G为定点，由△GDP性质可知点D、P重合时GP最小，即GP最小为DP．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．