Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|，不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2， ∴ ①，或 ②，或 ③，
解①求得 ≤x＜1，解②求得 1≤x≤2，解③求得2＜x≤ ．
综合可得，不等式的解集为{x| ≤x≤ }．
（Ⅱ）证明：若a＞0，则f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|≤|（ax﹣1）﹣（ax﹣a）|=|a﹣1|=f（a），
即f（ax）﹣af（x）≤f（a）成立
【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），从而可证结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．