Question

【题目】已知函数f（x）= （e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（ ，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）= ，Tn=1+2[g（ ）+g（ ）+g（ ）+…+g（ ）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有 + + +…+ ＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = 依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．
得： ，
∴a=0，
（Ⅱ）对任意的 ，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．
等价于xex﹣m（2x﹣1）≥0对 恒成立，
即 对 恒成立
令 ，则m≤t（x）最小
∵
由t′（x）=0得：x=1或 （舍去）
当 时，t′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0
∴t（x）在 上递减，在（1，+∞）上递增
∴t（x）最小=t（1）=e，
∴m≤e．
（Ⅲ） = ，
，
∴ ，
因此有
由 ，

得2Tn=2+2[1+1+…+1]=2+2（n﹣1）=2n，∴Tn=n．
，取n=2m（m∈N*），
则 = = ，
当m趋向于+∞时， 趋向于+∞．
所以，不存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），
都有 成立
【解析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对 恒成立，即 对 恒成立，构造函数 ，求出t（x）最小 ， 即可得到实数m的取值范围．（Ⅲ）通过 ，推出 ，化简 ，推出Tn=n．然后求解 ，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出 ≥ ，当m趋向于+∞时， 趋向于+∞．然后说明结果．