Question

【题目】己知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5的两个交点之间的距离为4． （Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k∈[0，1]时，求|AB||CD|的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=5在第一象限内的交点为R（2，m）， ∴4+m2=5，
∵m＞0，
∴m=1，
将（2，1）代入x2=2py，可得p=2；
（Ⅱ）抛物线C1的方程为x2=4y．直线的方程为y=kx+1，
联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4
联立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，
设C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
∴x3+x4=﹣ ，x3x4=﹣ ，
∴|AB|= =4（1+k2），|CD|= ，
∴|AB||CD|=4 = × ，
∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，
∴|AB||CD|∈[16，24 ]
【解析】（Ⅰ）利用圆C1：x2+y2=5与抛物线C2：x2=2py（p＞0）在第一象限内的交点为R（2，m），即可求m的值及抛物线C2的方程；（Ⅱ）直线的方程为y=kx+1，分别于抛物线、圆的方程联立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]时，即可求|AB||CD|的取值范围．