Question

【题目】如图，已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标；

(2)设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．

①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）①见解析， ② P1（9，0）或P2（0， ）

【解析】试题分析：（1）由C（0，3）得出抛物线解析式为y=－x2+bx+3，将点A的横纵坐标代入解析式求出b，令y=0，解出x即可得点B 的坐标；（2）作DE⊥y轴交于点E，不难求出∠ACB=∠DCE=45°， 则∠DCB=∠AOC=90°，由勾股定理求出CD、BC=的长度，不难发现，即可证明△AOC∽△DCB；②分情况讨论：1.以C为顶点的角是90°时；2.以A为顶点的角是90°时，分别求出点P的坐标即可.

试题解析：

解：（1）∵C（0，3），∴抛物线解析式为y=－x2+bx+3，

∵A（－1，0），∴－1－b+3=0，解得b=2.

∴抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3，

令y=0，则－x2+2x+3=0，解得：x1=－1，x2=3，

∴点B的坐标是（3，0）；

（2）①证明：作DE⊥y轴交于点E，

可求得顶点D（1，4），OA=1，OC=OB=3，

∴∠OCB=45°，DE=1，EO=4，

∴EC=1，

∴∠DCE=45°，

故∠DCB=90°=∠AOC，

由勾股定理求得：CD=，BC=3，

∴，

∴△AOC∽△DCB．

②存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0， ）.

1.以C为顶点的角是90°时，

∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CPO+∠OCP=90°，

∴∠CPO=∠ACO，

∴∠CPO=∠DBC，

∵∠DCB=∠ACP=90°，

∴△PCA∽△BCD，

∴∠DBC=∠APC，

∴tan∠DBC=tan∠APC，即=,

∴OP=9，

∴P（9，0）；

2.以A为顶点的角是90°时，

同理可证△AOP∽△BCD，

∴∠DBC=∠PAO，

∴tan∠DBC=tan∠PAO，即=，

∴OP=，

∴P（0， ）.

综上可得：存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0， ）.