Question

【题目】问题情景：
如图，在直角坐标系xOy中，点A、B为二次函数y=ax2（a＞0）图象上的两点，且点A、B的横坐标分别为m、n（m＞n＞0），连接OA、AB、OB．设△AOB的面积为S时，解答下列问题：

（1）探究：当a=1时，

	mn	m﹣n	S
m=3，n=1	3	2
m=5，n=2	10	3

当a=2时，

	2mn	m﹣n	S
m=3，n=1	6	2
m=5，n=2	20	3

（2）归纳证明：对任意m、n（m＞n＞0），猜想S=（用a，m，n表示），并证明你的猜想．
（3）拓展应用：
若点A、B的横坐标分别为m、n（m＞0＞n），其它条件不变时，△AOB的面积S=（用a，m，n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）3；15；6；30；
（2）
amn（m﹣n）
（3）
amn（m﹣n）
【解析】（1.）解：探究：
如图1，设直线AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E，

当a=1时，
∵A、B在抛物线上，
∴A（m，m2），B（n，n2），
∴AD=m，BE=n，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB解析式为y=（m+n）x﹣mn，
令x=0可得y=﹣mn，
∴OC=mn，
∴S△AOB=S△OCA﹣S△OCB= OCAD﹣ OCBE= OC（AD﹣BE）= mn（m﹣n），
当m=3，n=1时，可得S= ×3×2=3，
当m=5，n=2时，可得S= ×10×3=15；
同理可得当a=2时，S= ×2mn（m﹣n）=mn（m﹣n），
当m=3，n=1时，S= ×6×2=6，
当m=5，n=2时，S= ×20×3=30；
所以答案是：3；15；6；30；
(2.)归纳证明：可猜想S= amn（m﹣n）．
证明如下：同图1，
∵A、B在抛物线上，
∴A（m，am2），B（n，an2），
∴AD=m，BE=n，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB解析式为y=a（m+n）x﹣amn，
令x=0可得y=﹣amn，
∴OC=amn，
∴S△AOB=S△OCA﹣S△OCB= OCAD﹣ OCBE= OC（AD﹣BE）= amn（m﹣n）；
所以答案是： amn（m﹣n）；
（3.）解：拓展应用：
如图2，

同（2）可得S=S△AOB=S△OCA+S△OCB= amn[m+（﹣n）]= amn（m﹣n），
所以答案是： amn（m﹣n）．