Question

【题目】利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：

（1）因式分解：_______．

（2）填空：

①当时，代数式_______．

②当_______时，代数式；

③代数式的最小值是_______．

（3）拓展与应用：当、为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）(x-2)2；（2）①0；②3；③-26；（3）a=2，b=4，最小值为10．

【解析】

（1）根据差的完全平方公式进行分解便可；

（2）①先分解因式，再代值计算；

②先对等式左边的代数式进行因式分解，再求未知数的值；

③通过因式分解把原式化成一个完全平方式与一个常数和的形式，便可求得最小值；

（3）利用完成完全平方式分解因式，把已知代数式转化为两个代数式的平方和与一个常数的和的形式，便可求得最小值．

（1）

=x2-2×2x+22

=（x-2）2，

故答案为：（x-2）2；

（2）①

=x2+2×2x+22

=（x+2）2

把x=-2代入上式得，

原式=（-2+2）2=0；

②=（x-3）2=0，

x-3=0，

x=3，

∴当x=3时，代数式x2-6x+9=0；

③=x2-2×6x+62-26=（x-6）2-26，

∵（x-6）2≥0，

∴（x-6）2-26≥-26，

∴代数式的最小值是-26，

故答案为：①0；②3；③-26；

（3）=（a-2）2+（b-4）2+10

∵（a-2）2≥0，（b-4）2≥0

∴（a-2）2+（b-4）2+10≥10

∴当a=2，b=4时，代数式的最小值是10．