Question

【题目】数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：

（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．

（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°

【解析】

（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.

解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴△ABD为等腰三角形，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴△BCD为等腰三角形；

（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：

（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：

①当分割的直线过顶点B时，

【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；

【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点

此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；

【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况

△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，

∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；

△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，

∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；

△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°

∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；

②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；

③当分割三角形的直线过点A时，

此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，

最大角的值为132°；

综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.